As diabruras dos números interessantes

Dizem os seguidores de Pitágoras que todos os números (inteiros) são interessantes. Para aceitar essa verdade dogmática seria preciso conceituar bem o que é que nos permite denominar um número de interessante.

Mesmo que não cheguemos a um acordo sobre isso, parece aceitável que alguns números sejam, de fato, interessantes. Veja, por exemplo, o número 142 857. Aparentemente é apenas mais número. Mas. quando multiplicado r 1,2,3,4,5 e 6, tem a particularidade de apresentar produtos com os mesmos algarismos e na mesma ordem, como se estivessem escritos num cilindro. Se o multiplicarmos por 1, 3, 2. 6, 4 e 5 teremos:
142 857 x 1 = 142 857:
142 857 x 3 = 428 571 (quando multiplicado por 3 o resultado é um número com os mesmos algarismos, com o 1 passando para o final);
142 857 x 2 = 285 714 (o resultado é um numero com os mesmos algarismos, com o l e o 4 passando para o final);
142 857 x 6 = 857 142 ( vê-se que o 1, o 4 e o 2 passam para o final);
142 857 x 4 = 571 428 (o resultado mostra que 1,4,2 e 8 passam para o final);
142 857 x 5 =714 285 (de novo, um produto com os mesmos algarismos: 1,4,2,8 e 5 vão para o final).

Esses exemplos servem para mostrar que o número 142 857 possui a propriedade de, quando multiplicado por qualquer número de 1 a 6, resultar em outro número com os mesmos algarismos e na mesma ordem cíclica. Vários livros de curiosidades matemáticas têm dado atenção ao 142857. 0 professor Mello e Souza, conhecido pelo nome de Malba Tahan, em seu livro Diabruras da Matemática, já destacava, em 1943, o comportamento desse número quando multiplicado por 7 e por 8:
142 857x7 = 999 999
142 857 x 8 = 1 142 856 (note que os algarismos são os mesmos, à exceção do 7 que se transformou no 1 inicial e no 6 final). Você poderá descobrir mais propriedades interessantes desse número, basta efetuar algumas multiplicações e observar atentamente. Vamos tentar encontrar a representação decimal da fração 1/7 (dividindo o 1 pelo 7) 1/7 = 0,142 857 142857 142857...

Repare que obtivemos uma dízima periódica simples, cujo período é o nosso já conhecido 142 857. Com isso fica fácil prever o que ocorreria com as frações 3/7, 2/7, 6/7, 4/7 e 5/7. Mesmo que você não seja um maníaco por números, não há como não se render ao curioso 142 857. Como ele, existem outros que até causaram certa polêmica, quanto a serem ou não interessantes, como o número 1 729. Conta-se que, certa vez, o matemático inglês G. H. Hardy foi visitar o matemático indiano Ramanujan, que era seu discípulo. Hardy relatou ao indiano que viera num táxi de número 1729, que ele considerava um número sem importância. Ramanujan, então, discordou: "Absolutamente não; 1 729 é um número muito interessante, pois é o menor número que pode ser expresso pela soma de dois cubos de duas maneiras distintas: 93 + 103 = 1 729 ou l3 + 123 = 1 729".

Ainda que você não tenha esse entusiasmo pelos números, há de concordar que existem números interessantes e, conseqüentemente, aceita que a família dos números possa ser dividida em duas classes: a dos interessantes e a dos não-interessantes. Esta última deve ter um número que é o menor da classe, o que faz dele um número interessante - já escrevi sobre isso em SUPERINTERESSANTE ano 6, número 2. Esses exemplos revelam idéias simples que entram na construção de raciocínios e servem, por força de sua própria simplicidade, à ciência e à arte. Pena que não se possa também classificar as aulas de nossas escolas em interessantes e não-interessantes.